Środek masy
Pojęcie środka masy
Przykład - doświadczalne wyznaczanie środka ciężkości
Punkt stabilnego podparcia
Środek ciężkości
Środek ciężkości, a środek masy
Wyznaczanie środka masy
Przykład – obliczanie położenia środka masy dwóch punktów

Pojęcie środka masy

Dość powszechnie używanym pojęciem związanym z bryłami, ciałami sztywnymi (ale nie tylko z nimi) jest środek masy. Dzięki temu pojęciu w wielu sytuacjach skomplikowany ruch bryły daje się opisać wygodnie jako złożenie ruchu punktu materialnego i obrotu. 

Co to jest środek masy?
Najłatwiej jest zrozumieć to pojęcie wychodząc od bardzo bliskiego mu środka ciężkości.

Przykład - doświadczalne wyznaczanie środka ciężkości:

Weźmy dowolny przedmiot o w miarę symetrycznych kształtach i postarajmy się podeprzeć go w jednym miejscu tak, aby go w całości utrzymywać. Z doświadczenia wiadomo, że aby dobrze podeprzeć przedmiot, utrzymując go za pomocą jednego punktu podparcia, niezbędne jest nieco prób, bo nie tak łatwo jest odpowiednie miejsce znaleźć. I najczęściej tylko jeden punkt (czasem nieco rozciągły, jeśli samo podparcie jest szerokie) pozwoli nam na wykonanie założonego zadania.

Na poniższych rysunkach przedstawione jest praktyczne rozwiązanie tego zadania dokonane przez autora. 

Przyjrzyjmy się jeszcze raz rysunkom. Tym razem w kontekście umieszczonego pod nim komentarza.

Punkt stabilnego podparcia (także stabilnego zawieszenia) przedmiotów symetrycznych jest położony pod (lub nad) środkiem geometrycznym. 

Punkt podparcia przedmiotów nieregularnych jest przesunięty w stronę obszaru o większym ciężarze.

Wnioski

Punkt stabilnego podparcia

Punkt stabilnego podparcia (także zawieszenia) ciała, to taki punkt w którym ciało nie ma tendencji do przekręcania się pod wpływem sił ciężkości. Taki punkt nie jest łatwo znaleźć. Dla ciał symetrycznych znajduje się on w środku geometrycznym. 

Punkt stabilnego podarcia, a środek ciężkości

Punkt stabilnego podparcia jest ściśle związany ze środkiem ciężkości ciała. Konkretnie - punkt podparcia (lub zawieszenia) spełniający warunek stabilności (nie przewracania się, nie przekręcania pod wpływem działającej siły ciężkości) utrzymywanego przedmiotu musi znajdować się dokładnie nad, lub pod środkiem ciężkości.

Środek ciężkości

Środek ciężkości ciała, to taki szczególny punkt (czasami może on nawet nie zawierać się w obrębie ciała), że po podparciu w tym punkcie za pomocą siły przeciwnej do siły grawitacji (równoważącej tę grawitację), grawitacja nie spowoduje obrotu tego ciała. I to bez względu na początkowe ustawienie - nachylenie.

A jeśli podeprzemy ciało obok środka ciężkości?

Jeśli ciało podeprzemy obok środka ciężkości, to w większości położeń będzie się ono przekręcało albo przewracało (lub miało skłonność do przekręcania). Wynika to z faktu, żę siła ciężkości działająca z jednej strony tego ciała będzie większa, niż z drugiej i ciężar owej masy przeważy. 
Efekt ten może być osiągnięty zarówno poprzez większą ilość masy, lub tym, że masa ta jest położona dalej od punktu podparcia.

Łatwo daje się zauważyć, że środek ciężkości przedmiotów symetrycznych znajduje się w ich środku geometrycznym.

Środek ciężkości, a środek masy

A środek masy?
Niemal zawsze środek ciężkości pokrywa się ze środkiem masy (wyjątek zdarzyłby się dopiero w niejednorodnym - czyli prawie niemożliwym do zaobserwowania "normalnie" - polu grawitacyjnym). 

Pojęcie środka masy jest nieco ogólniejsze od pojęcia środka ciężkości, bo ciało ma środek masy zawsze - bez względu na to, czy działa na nie siła grawitacji. Np. w stanie nieważkości trudno jest mówić o środku ciężkości, bo ciężkości ciała nie mają, natomiast środek masy jest niezmieniony. 

Dalsza interpretacja pojęcia środka masy

Środek masy możemy jeszcze wyobrażać sobie tak, że gdybyśmy w stanie nieważkości zaczęli ciągnąć ruchem przyspieszonym daną bryłę, to w wyniku takiego pociągnięcia nie nastąpi nawet chwilowe przekręcenie się ciała. 

Dzięki tym właściwościom środka masy fizykom udaje się odseparować od siebie dwie składowe ruchu bryły sztywnej:

	ruch postępowy (powiązany z ruchem środka masy)
	ruch obrotowy (dokonujący wokół środka masy).

Więcej informacji na ten temat można uzyskać wertując rozdziały poświęcone ruchowi bryły sztywnej.

Wyznaczanie środka masy (ciężkości) dla dwóch punktów materialnych

Środek masy brył jednorodnych 

W przypadku ciał symetrycznych - np. prostego, jednorodnego pręta, koła, kuli, walca, sześcianu itp., środek masy znajduje się w środku geometrycznym ciała. 

Masa rozmieszczona niesymetrycznie

Trudniej jest wyznaczyć środek masy, jeśli masa jest rozłożona nierównomiernie - czy to z powodu bardziej skomplikowanych rozmiarów, czy też z powodu niejednorodności materiału. 

Środek masy układu dwóch punktów

Jeszcze stosunkowo łatwo wyznacza się środek masy dla układu dwóch punktów materialnych.

Jest on przesunięty w stronę punktu o większej masie (idealna kula zachowuje się pod tym względem jak punkt). Dokładniej powiedzieć można, że odległości środka masy do punktów są odwrotnie proporcjonalne do mas tych punktów.

Można to zapisać wzorem:

M₁R₁ = M₂R₂

Lub, po przeniesieniu na jedną stronę wyrażenia po prawej stronie równania

M₁R₁ - M₂R₂ = 0

W przypadku bardziej skomplikowanych układów punktów materialnych zawsze musi zachodzić:

Suma iloczynów M_iR_i po lewej stronie środka masy
=
Suma iloczynów M_jR_j po prawej stronie środka masy

Lub (w bardziej "naukowym zapisie) jeśli iloczyny z lewej strony liczymy z plusem, a z prawej z minusem (albo na odwrót, bo to tylko kwestia umowy):

Σ M_i R_i = 0

Przykład – obliczanie położenia środka masy dwóch punktów

Mamy taki oto problem:
W jakiej odległości od środka Ziemi znajduje się środek masy układu Ziemi – Księżyc? Czy jest on jeszcze w środku Ziemi, czy na zewnątrz naszej planety?

Dane:

Masa Ziemi: M_z ≈ 6 ∙ 10²⁴ kg
Masa Księżyca: M_k ≈ 7.3 ∙ 10²² kg
Średnia odległość od Księżyca do Ziemi: d ≈ 3.84∙ 10⁸ m
Średni promień Ziemi: R_{Kuli_ziemskiej} ≈ 6.37∙ 10⁶ m                                                     

Szukamy:

x – odległości środka masy układu od środka Ziemi

Rozwiązanie

Z rysunku widać, że odległość Księżyca od środka masy układu wynosi

x_k = d – x

Wielkości te będziemy podstawiali do wzoru:

M_KR_K = M_ZR_Z

Przy czym:

R_z = x

R_k = x_k = d – x

Dlatego:

M_K ∙ (d - x) = M_Z ∙ x

Wymnażamy nawias:

M_K ∙ d - M_K ∙  x = M_Z ∙ x

Przenosimy M_K ∙  x na lewą stroną (z przeciwnym znakiem)

M_K ∙ d = M_Z ∙ x + M_K ∙  x

Wyciągamy x przed nawias

M_K ∙ d = (M_Z  + M_K) ∙  x

I ostatecznie dzielimy obie strony równania przez cały nawias zamieniając przy tym strony równania, aby z lewej strony mieć wielkość niewiadomą x:

Podstawiamy wielkości liczbowe:

Stąd:

x ≈ 4,6 ∙ 10⁶ m

Ponieważ średni promień Ziemi: R_{Kuli_ziemskiej} ≈ 6,37∙ 10⁶ m, więc widać, że środek masy układu Ziemia – Księżyc znajduje się we wnętrzu Ziemi (bo x < R_{Kuli_ziemskiej}).

 Jaki stąd wniosek praktyczny?
Prawie żaden. Może tylko tyle, że Ziemia wykonuje dwa ruchy obrotowe - jeden zwykły wokół swojego środka geometrycznego (też środka masy, ale samej kuli ziemskiej), a drugi ruch obrotowy, nakładający się na pierwszy, to wirowanie wokół środka masy wokół układu Ziemia - Księżyc. Może to mieć pewien wpływ na siły odśrodkowe działające na ciała na powierzchni naszej planety.